Алексей Турищев родился 1 (13) марта 1888 года в Калуге в семье рабочего, где было много детей. С детства у него проявились выдающиеся музыкальные способности, что позволило ему стать воспитанником Московского (12-го Астраханского гренадерского) полка и поступить в Московскую консерваторию на класс кларнета.

В 1904 году он выиграл конкурс на лучшую песню-марш для торжественного приёма, организованного императором Николаем II в честь офицеров и матросов крейсера «Варяг» и канонерской лодки «Кореец». Турищев написал музыку к стихотворению Рудольфа Грейнца в переводе Евгении Студенской «Врагу не сдаётся наш гордый „Варяг“», сделал инструментовку для духового оркестра и хора и дирижировал первым исполнением «Варяга» на перроне Курского вокзала.

В 1910 году Алексей Турищев окончил Московскую консерваторию. В 1912 году он стал капельмейстером 177-го Изборского пехотного полка в Пензе и открыл класс кларнета в Пензенском музыкальном училище.

Алексей Сергеевич Турищев участвовал в Первой мировой и Гражданской войнах. С января 1918 года он служил в Красной Армии, занимая должность капельмейстера 1-го Пензенского советского полка.

В 1918 и 1957 годах он преподавал духовые инструменты в Пензенском музыкальном училище и музыкальной школе № 1, которые находились в одном здании. В разные периоды он совмещал несколько должностей, включая директора училища и музыкальной школы (в 1925 и 1935 годах) и заведующего учебной частью.

В 1936 году он девять месяцев служил капельмейстером 93-го стрелкового Донского полка. Во время Великой Отечественной войны в течение четырёх лет заботился об эвакуированных в Пензу воспитанниках Центральной музыкальной школы при Московской консерватории.

Алексей Сергеевич Турищев скончался 16 февраля 1962 года и был похоронен в Пензе на Митрофановском кладбище.