Alexéi Turischev nació el 1 (13) de marzo de 1888 en Kaluga en una familia de trabajadores, donde había muchos niños. Desde pequeño mostró excepcionales habilidades musicales, lo que le permitió convertirse en alumno del Regimiento de Granaderos de Moscú (12º de Astracán) y entrar en el Conservatorio de Moscú en la clase de clarinete.

En 1904 ganó un concurso por la mejor canción-marcha para una recepción solemne organizada por el emperador Nicolás II en honor a los oficiales y marineros del crucero "Varyag" y del cañonero "Coreano". Turischev escribió la música para el poema de Rudolf Greintz traducido por Evguenia Studenskaya "Nuestro orgulloso 'Varyag' no se rinde al enemigo", hizo la instrumentación para la banda de viento y el coro y dirigió la primera interpretación de "Varyag" en el andén de la estación de tren de Kursk.

En 1910, Alexéi Turischev se graduó del Conservatorio de Moscú. En 1912 se convirtió en director de orquesta del 177º Regimiento de Infantería de Izborsk en Penza y abrió una clase de clarinete en el Conservatorio Musical de Penza.

Alexéi Serguéyevich Turischev participó en la Primera Guerra Mundial y en la Guerra Civil. Desde enero de 1918 sirvió en el Ejército Rojo, ocupando el cargo de director de orquesta del 1er Regimiento Soviético de Penza.

En 1918 y 1957 enseñó instrumentos de viento en el Conservatorio Musical de Penza y en la Escuela Musical Nº 1, que estaban en el mismo edificio. En diferentes períodos combinó varios cargos, incluyendo director del conservatorio y de la escuela musical (en 1925 y 1935) y jefe del departamento académico.

En 1936 sirvió durante nueve meses como director de orquesta del 93º Regimiento de Fusileros de Don. Durante la Gran Guerra Patria, durante cuatro años se ocupó de los evacuados en Penza, alumnos de la Escuela Musical Central del Conservatorio de Moscú.

Alexéi Serguéyevich Turischev falleció el 16 de febrero de 1962 y fue enterrado en Penza en el cementerio Mitrofanovsky.