Alexej Turišev wurde am 1. (13.) März 1888 in Kaluga in einer Arbeiterfamilie mit vielen Kindern geboren. Schon in der Kindheit zeigten sich seine außergewöhnlichen musikalischen Fähigkeiten, die es ihm ermöglichten, Schüler des Moskauer (12. Astrachaner Grenadier-)Regiments zu werden und an die Moskauer Konservatorium in die Klarinettenklasse einzutreten.

Im Jahr 1904 gewann er einen Wettbewerb für das beste Lied-Marsch für einen feierlichen Empfang, der von Kaiser Nikolai II. zu Ehren der Offiziere und Matrosen des Kreuzers „Waryag“ und des Kanonenboots „Korejec“ organisiert wurde. Turišev schrieb die Musik zu dem Gedicht von Rudolf Grejntz in der Übersetzung von Evgenia Studenskaja „Unser stolzer 'Waryag' gibt dem Feind nicht nach“, arrangierte die Instrumentierung für Blasorchester und Chor und dirigierte die Uraufführung von „Waryag“ auf dem Perron des Kursker Bahnhofs.

Im Jahr 1910 schloss Alexej Turišev das Moskauer Konservatorium ab. 1912 wurde er Kapellmeister des 177. Isborsker Infanterie-Regiments in Penza und eröffnete eine Klarinettenklasse an der Musikschule von Penza.

Alexej Sergeevič Turišev nahm am Ersten Weltkrieg und am Bürgerkrieg teil. Ab Januar 1918 diente er in der Roten Armee und war Kapellmeister des 1. Penzaer Sowjetregiments.

In den Jahren 1918 und 1957 unterrichtete er Blasinstrumente an der Musikschule von Penza und der Musikschule Nr. 1, die sich in einem Gebäude befanden. In verschiedenen Perioden hatte er mehrere Positionen inne, darunter Direktor der Schule und der Musikschule (1925 und 1935) sowie Leiter der Ausbildungsabteilung.

Im Jahr 1936 diente er neun Monate lang als Kapellmeister des 93. Schützenregiments der Don-Truppen. Während des Großen Vaterländischen Krieges kümmerte er sich vier Jahre lang um die in Penza evakuierten Schüler der Zentralen Musikschule der Moskauer Konservatorium.

Alexej Sergeevič Turišev starb am 16. Februar 1962 und wurde auf dem Mitrofanov-Friedhof in Penza beigesetzt.