Федот Васильевич Сычков родился 1 марта 1870 года в селе Кочелаево Пензенской губернии в бедной крестьянской семье. Рано потеряв отца, он испытал в детстве много трудностей и обид.

Он учился в трёхклассной земской школе в Кочелаеве и с детства проявлял способности к рисованию, занимаясь под руководством учителя П. Е. Дюмаева. Работал в иконописной мастерской, писал фрески в церквях и портреты по фотографиям. С 1885 по 1887 год трудился в Сердобске у подрядчика иконописца Д. А. Решетникова.

С 1887 по 1892 год Сычков жил в Кочелаеве, занимаясь живописью самостоятельно, создавая иконы и портреты односельчан. В 1892 году по заказу генерала Ивана Андреевича Арапова он написал картину «Закладка станции Арапово». Эта работа произвела впечатление на директора Рисовальной школы для вольноприходящих Евгения Александровича Сабанеева, который отметил талант Сычкова и предложил ему приехать в Петербург.

В 1892 году Сычков переехал в Петербург и поступил в Рисовальную школу Общества поощрения художеств, получив поддержку от генерала Арапова. В 1895 году он окончил школу и стал вольнослушателем в Высшем художественном училище при Академии художеств.

После окончания училища в 1900 году Сычков остался в Петербурге, активно работая. В 1903 году он женился на Лидии Васильевне Анкудиновой.

Сычков считал своим главным учителем И. Е. Репина. Его стиль, сформировавшийся под влиянием искусства передвижников, также испытал воздействие французской пленэрной живописи. Основным жанром его творчества был пейзажно-бытовой, но он также успешно работал в портретном жанре.

В 1900 году Сычков получил звание художника за картину «Вести с войны». В 1905 году его работа «Мяльщицы льна» была удостоена премии имени А. И. Куинджи на Весенней выставке в Академии художеств. Он стал членом Комитета Общества взаимного вспомоществования русских художников.

С апреля по октябрь 1908 года Сычков с женой путешествовал по Западной Европе, посетив Италию, Францию и Германию, и привёз множество пейзажей из Рима, Венеции и Ментоны.

В 1909 и 1917 годах его работы неоднократно отмечались на российских и международных выставках.

В 1918 и 1920 годах он участвовал в оформлении революционных праздников в Наровчате, на станции Арапово и в Кочелаеве. После этого он вернулся к своим любимым темам, портретам крестьянских детей и девушек, пейзажам.

В 1937 году Сычков получил звание «Заслуженный деятель искусств Мордовской АССР».

Последние годы жизни он провёл в Саранске, где пользовался заслуженным уважением, и скончался там 3 августа 1958 года.

Основной темой его творчества была жизнь крестьян и сельские праздники. Среди его известных работ: «Портрет Анны Ивановны Сычковой, матери художника» (1898), «Вести с войны» (1900), «Женский портрет» (1903), «Портрет в чёрном» (1904), «Мяльщицы льна» (1905), «Подружки» (1909), «С гор» (1910), «Возвращение с сенокоса» (1911), «Катание на масленице» (1914), «Возвращение с ярмарки» (1910), «Деревенская свадьба», «Водосвятие», «Христославы», «Трудный переход» (1913), «Праздничный день» (1927), «Праздничный день. Подруги. Зима» (1929), «Выходной день в колхозе» (1936), «Колхозный базар» (1936), «Учительница-мордовка» (1937), «Портрет художника Ивана Силыча Горюшкина-Сорокопудова» (1937), «Трактористки-мордовки» (1938), «Праздник урожая» (1938), «Вручение акта на вечное бесплатное пользование землей» (1938), «Возвращение из школы» (1945), «Встреча героя» (1952).