А.Н. Сомов происходил из семьи потомственных дворян. Он получил образование в Морском кадетском корпусе и в декабре 1841 года был выпущен в 3-й флотский экипаж.

В 1853 году его избрали кандидатом на должность Воронежского уездного предводителя дворянства, а также назначили директором Воронежского попечительного комитета о тюрьмах. В 1855 году он стал Воронежским уездным предводителем дворянства. В 1856 году Сомов был назначен судьей Воронежского совместного суда, а в 1857 году избран попечителем Воронежской арестантской полуроты гражданского ведомства. В 1858 году он стал членом Воронежского губернского комитета по крестьянскому делу.

В 1861 году Сомов был назначен членом временной комиссии для предварительных распоряжений по крестьянским делам, а затем стал членом присутствия по крестьянским делам. В том же году он получил звание камергера. В 1862 году его назначили старшим кандидатом на должность губернского предводителя дворянства. В 1865 году он был избран председателем Воронежской губернской земской управы, а в 1867 году стал почётным мировым судьёй по Воронежскому уезду.

С 31 марта 1868 года Сомов занимал пост губернатора Тверской губернии.

В 1890 году он был назначен сенатором в департамент герольдии Сената, а в 1891 году переведён в 5-й департамент, затем в соединенное присутствие 4 и 5 межевого департамента Сената. С 1896 года он присутствовал во 2-м всеобщем собрании Сената.

Сомов был пожизненным почётным членом Тверского губернского попечительства о детских приютах.

В Воронежской губернии у него было имение площадью 2552 десятины земли.

Он скончался 31 октября 1899 года.