Родился 30 июня 1887 года в имении Сергиевское, расположенном в Калужской губернии. Он был сыном губернатора, который позже стал протоиереем Михаилом Осоргиным. В детстве мальчик прислуживал в алтаре сельской церкви Покрова Божией Матери, читал в церкви и пел в хоре. В 1910 году окончил юридический факультет Московского университета. Участвовал в войне, после чего эмигрировал в Константинополь, а затем переехал в Баден-Баден, Германия. Там он служил псаломщиком и регентом в православной церкви.

В 1924 году, по предложению митрополита Евлогия, он переехал в Париж и занялся организацией нового Свято-Сергиевского православного прихода на улице Криме. Он стал членом учредительного комитета Свято-Сергиевского подворья, а освящение главного придела храма состоялось 1 марта 1925 года. В мае того же года на территории прихода были основаны Свято-Сергиевское подворье и Свято-Сергиевский богословский институт. М. М. Осоргин управлял Подворьем и преподавал в Институте практическую литургику и церковный устав с 1930 по 1947 годы. Он основал курсы псаломщиков и издал краткое изложение порядка церковных служб. Также был псаломщиком и регентом хора Свято-Сергиевского подворья.

Совместно с епископом Вениамином (Федченковым) он внедрил на Подворье стиль пения, соответствующий монастырскому уставу. Осоргин был преданным сторонником старинных русских церковных распевов и выполнил ряд их обработок. Для сбора средств на обустройство храма церковный хор под его управлением давал концерты, в которых использовались как традиционные песнопения, так и его собственные обработки, а также обработки А. К. Глазунова, Н. Н. Черепнина, А. Т. Гречанинова и других композиторов.

Он скончался 16/29 октября 1950 года и был похоронен на кладбище Сент-Женевьев-де-Буа под Парижем.