Алексей Васильевич Можаев родился 5 октября 1918 года в деревне Вторая Сосновка Саратовской губернии в семье учителей.

В 1933 и 1936 годах он обучался в Пензенском художественно-педагогическом училище у Н. Ф. Петрова и И. С. Горюшкина-Сорокопудова. В 1936 году, по приглашению И. И. Бродского, Можаев приехал в Ленинград и успешно поступил в Ленинградский институт живописи, скульптуры и архитектуры на факультет живописи. Его наставниками были Михаил Бернштейн, Александр Любимов, Исаак Бродский и Генрих Павловский.

В 1941 и 1942 годах он работал в Саратове в «Окнах ТАСС». В 1943 году вернулся к учёбе в мастерских Александра Осмёркина и Бориса Иогансона. В 1946 году окончил ЛИЖСА имени И. Е. Репина под руководством Бориса Иогансона, представив дипломную картину «В родной семье». В этом же году стал членом Ленинградского Союза советских художников и товарищества художников Ленизо.

Первое участие Можаева в выставке состоялось в 1936 году. С конца 1940-х он регулярно участвовал в выставках ленинградских художников. Он создавал портреты, пейзажи и жанровые композиции, работая в технике масляной живописи, рисунка и автолитографии. Можаев был талантливым рисовальщиком и проводил персональные выставки в Ленинграде и Санкт-Петербурге.

Основным жанром в творчестве Можаева был живописный портрет. Его стиль развивался от академической манеры с акцентом на объективизм и типизацию к более выразительному отображению индивидуальных черт и утончённому колориту. Живопись Можаева отличалась яркими светотеневыми контрастами и искусной передачей пленэра. Со временем в его работах усилилась декоративность колорита и обобщённость рисунка. В 1989 и 1992 годах его работы успешно выставлялись на выставках и аукционах русской живописи L’ Ecole de Leningrad во Франции.

Алексей Можаев более 30 лет занимался педагогической деятельностью в Средней художественной школе, ныне Санкт-Петербургский государственный академический художественный лицей им. Б. В. Иогансона, при Ленинградском институте живописи, скульптуры и архитектуры имени И. Е. Репина и Ленинградском художественном училище имени В. А. Серова, ныне Санкт-Петербургское художественное училище имени Н. К. Рериха.

Он скончался 23 января 1994 года в Санкт-Петербурге на 76-м году жизни и был похоронен на Казанском кладбище в Пушкине.

Работы А. В. Можаева находятся в музеях и частных коллекциях в России, Франции, США, Великобритании, Японии, Италии и других странах.