Родился в семье кунгурского купца первой гильдии Григория Кирилловича Кузнецова. Обучался в Петербургском коммерческом училище, но не завершил полный курс. Из-за состояния здоровья большую часть жизни проводил в своём имении Форос в Крыму и в Ницце на юге Франции.

В 1883 году унаследовал многомиллионное состояние от своего деда по матери, А. С. Губкина, кунгурского купца, который пожертвовал более 1,5 млн рублей на создание в Кунгуре Технического училища и Елизаветинского дома призрения бедных детей, позже ставшего Елизаветинской рукодельной школой. Продолжая дело деда, А. Г. Кузнецов ежегодно выделял сотни тысяч рублей на содержание этих учебных заведений, построил дачу для воспитанниц рукодельной школы в городском сосновом бору и Никольский храм над могилой деда.

Кузнецов также внёс значительный вклад в развитие ялтинской прогимназии, народных училищ и больниц в Московской губернии, жертвовал крупные суммы православной общине в Варшаве для поддержки храма. В 1892 году на его средства была издана книга «Чай и чайная торговля в России и других государствах».

На его пожертвования были организованы русские биологические станции в Севастополе и Виллафранке. Благодаря Кузнецову были изданы древние акты Вятки и Кунгура, произведения Геродота, Фукидида, Полибия (в переводе Ф. Мищенко), Тита Ливия (в переводе Адрианова), исследования профессора Кулагина и альбом фотогравюр с картин В. Е. Маковского. Он также содействовал изданию на французском языке трудов Московского международного конгресса естествоиспытателей 1892 года.

Став владельцем Фороса, Кузнецов превратил его в образцовое имение европейского типа. Он создал знаменитый Форосский парк, ныне памятник садово-парковой архитектуры, и построил дворцовый ансамбль, сохранившийся до наших дней. Интерьеры главного дворца в стиле классицизма оформляли Ю. Ю. Клевер, Чагин и Маковский. В 1892 году на Красной скале над Форосом, по проекту архитектора Николая Чагина, была построена церковь Воскресения Христова в византийском стиле в честь спасения царской семьи под Борками, ставшая одной из достопримечательностей Южного берега Крыма.

Знаменитая яхта Кузнецова, одна из самых красивых и больших частных яхт, называлась «Форос». В 1894 году на ней в Каннах гостил английский король Эдуард VII.

Кузнецов скончался в своей подмосковной усадьбе Осташёво и был похоронен в фамильном склепе на кладбище Ново-Алексеевского монастыря в Москве.