Юрий Матвеевич Фельтен родился в 1730 году. Его отец, Матиас Фельтен, прибыл в Россию из Германии и в 1725 году был назначен экономистом в недавно созданную Санкт-Петербургскую Академию наук. Сына он назвал Георгом Фридрихом, но позже его имя было русифицировано в Юрия Матвеевича. В 1736 году отец умер, и заботу о семье взял на себя муж сестры Юрия. Вместе с ним Фельтены переехали в Германию. Перед отъездом в Тюбинген Юрий окончил старшие классы гимназии при Академии наук, что позволило ему поступить в Тюбингенский университет.

Во время учёбы в университете Фельтен путешествовал по стране, изучая архитектуру. Практику он проходил при строительстве Нового дворца герцога Вюртембергского в Штутгарте в 1747-1748 годах, а летом 1749 года, в Берлине.

Осенью 1749 года Фельтен вернулся в Санкт-Петербург и в ноябре подал прошение императрице Елизавете Петровне о поступлении в Академию художеств. В декабре его просьба была удовлетворена, и он стал первым студентом-архитектором вместе с Рейнгольдом Ашем. Архитектуру преподавал И. Я. Шумахер, который не только давал теоретические знания, но и привлекал студентов к практической деятельности. В ноябре 1751 года Фельтен подал прошение о поступлении на службу при Академии.

20 декабря 1755 года указом Сената Фельтен был принят на службу в Канцелярию от строений и назначен помощником архитектора, начав работать в команде Франческо Бартоломео Растрелли. Сначала штатного места он не получил, но позже был приведён к присяге и в 1760 году принят на службу архитектором с согласия Растрелли, которому помогал в строительстве Зимнего дворца.

После отставки Растрелли Фельтен вместе с Валлен-Деламотом стал одним из ведущих петербургских архитекторов. Он завершал проекты Растрелли, включая работы в Зимнем дворце и адаптацию зданий Смольного монастыря для Института благородных девиц. Ему поручили строительство Училища для мещанских девиц.

В 1762 году Фельтен был назначен главным архитектором Конторы строения домов и садов, сменив Растрелли. Эта должность позволила ему руководить значительными проектами в Петербурге, включая строительство каменной Дворцовой набережной и её ограды, а также зданий Большого Эрмитажа и арки над Зимней канавкой.

В 1765 году Фельтен участвовал в конкурсе на восстановление колокольни Петропавловского собора, после чего сосредоточился на строительстве церковных сооружений. Он строил шведскую церковь Святой Екатерины, Армянскую церковь на Невском проспекте, лютеранскую церковь Святой Екатерины на Васильевском острове, церковь Иоанна Предтечи и другие.

Чесменские дворец и церковь, а также церковь Иоанна Предтечи стали уникальными примерами готической архитектуры в пригородах Петербурга.

В 1773 году Фельтен перестроил дом капитана Глазьева на площади у Зимнего дворца, что позволило ему выиграть конкурс на перестройку всего придворцового пространства. По его проекту были построены здания на южной границе будущей Дворцовой площади.

Императрица Екатерина II назначила Фельтена ответственным за установку памятника Петру I (Медный всадник). Он стал помощником автора скульптуры Этьена Мориса Фальконе и после его отъезда руководил установкой монумента.

Фельтен жил в усадьбе на реке Мойке, где построил каменный дом. Однако семейное счастье ему не удалось обрести: в 1774 году умерла его жена Анна, а также их дети.

С 1776 по 1782 год он строил дворец на Каменном острове для Павла, сына Екатерины II. Фельтен также работал в Петергофе и Царском Селе, создавая интерьеры Большого Петергофского дворца.

В начале 1780-х годов Фельтен завершал строительство здания Академии художеств, после чего переехал в служебную квартиру и продал свой особняк.

После отъезда Валлен-Деламота из России Фельтен стал преподавать архитектуру в Академии художеств, получив звание профессора после смерти А. Ф. Кокоринова. С 1775 года он был старшим профессором, полностью погрузившись в дела Академии.

За долгую службу Фельтен получил чин статского советника. В 1783 году его избрали корреспондентом Французской королевской Академии.

В 1785 году Фельтен стал адъюнкт-ректором Академии, а в 1789 году, её директором. В 1794 году он ушёл из Академии без награждения, его просьба была отклонена. Архитектор умер 2 июня 1801 года. Среди его известных учеников, Андреян Захаров и братья Александр и Андрей Михайловы.