Jurij Matwejewitsch Felten wurde 1730 geboren. Sein Vater, Matthias Felten, kam aus Deutschland nach Russland und wurde 1725 zum Ökonomen an der neu gegründeten Sankt Petersburger Akademie der Wissenschaften ernannt. Er nannte seinen Sohn Georg Friedrich, aber später wurde sein Name ins Russische als Jurij Matwejewitsch eingedeutscht. 1736 starb der Vater, und die Verantwortung für die Familie übernahm der Ehemann von Jurijs Schwester. Zusammen mit ihm zogen die Felten nach Deutschland. Vor der Abreise nach Tübingen schloss Jurij die Oberstufe des Gymnasiums an der Akademie der Wissenschaften ab, was ihm den Zugang zur Universität Tübingen ermöglichte.

Während seines Studiums an der Universität reiste Felten durch das Land und studierte Architektur. Seine Praxis absolvierte er beim Bau des Neuen Schlosses des Herzogs von Württemberg in Stuttgart in den Jahren 1747-1748 und im Sommer 1749 in Berlin.

Im Herbst 1749 kehrte Felten nach Sankt Petersburg zurück und stellte im November einen Antrag bei der Kaiserin Elisabeth Petrowna auf Aufnahme in die Akademie der Künste. Im Dezember wurde sein Antrag genehmigt, und er wurde zusammen mit Reinhold Aš ein erster Architekturstudent. Die Architektur wurde von I. J. Schumacher unterrichtet, der nicht nur theoretisches Wissen vermittelte, sondern die Studenten auch in praktische Tätigkeiten einbezog. Im November 1751 stellte Felten einen Antrag auf Aufnahme in den Dienst der Akademie.

Am 20. Dezember 1755 wurde Felten durch einen Erlass des Senats in die Kanzlei für Bauwesen aufgenommen und zum Assistenten des Architekten ernannt, wobei er in das Team von Francesco Bartolomeo Rastrelli eintrat. Zunächst erhielt er keinen festen Platz, wurde aber später vereidigt und 1760 mit Zustimmung Rastrellis als Architekt in den Dienst aufgenommen, dem er beim Bau des Winterpalastes half.

Nach dem Rücktritt Rastrellis wurde Felten zusammen mit Vallin-Delamot einer der führenden Architekten in Petersburg. Er vollendete die Projekte Rastrellis, einschließlich der Arbeiten im Winterpalast und der Anpassung der Gebäude des Smolny-Klosters für das Institut der edlen Mädchen. Ihm wurde der Bau einer Schule für bürgerliche Mädchen anvertraut.

1762 wurde Felten zum Hauptarchitekten der Bauverwaltung für Häuser und Gärten ernannt und ersetzte Rastrelli. Diese Position ermöglichte es ihm, bedeutende Projekte in Petersburg zu leiten, einschließlich des Baus der steinernen Dvortsovaja-Naberegnaja und ihrer Umzäunung sowie der Gebäude des Großen Ermitage und des Bogens über dem Winterkanal.

1765 nahm Felten an einem Wettbewerb zur Wiederherstellung des Glockenturms der Peter-und-Paul-Kathedrale teil, danach konzentrierte er sich auf den Bau von Kirchengebäuden. Er baute die schwedische Kirche St. Katharina, die armenische Kirche an der Newski-Prospekt, die lutherische Kirche St. Katharina auf der Insel Wasiljewski, die Kirche Johannes des Täufers und andere.

Der Chesmensky-Palast und die Kirche sowie die Kirche Johannes des Täufers wurden zu einzigartigen Beispielen gotischer Architektur in den Vororten von Petersburg.

1773 baute Felten das Haus des Kapitäns Glazjew auf dem Platz beim Winterpalast um, was ihm erlaubte, den Wettbewerb für die Umgestaltung des gesamten Hofraums zu gewinnen. Nach seinem Projekt wurden Gebäude an der südlichen Grenze des zukünftigen Dvortsovaja-Platzes errichtet.

Kaiserin Katharina II. ernannte Felten zum Verantwortlichen für die Errichtung des Denkmals für Peter I. (Der Reiter aus Bronze). Er wurde Assistent des Autors der Skulptur Étienne Maurice Falconet und leitete nach dessen Abreise die Errichtung des Denkmals.

Felten lebte in einem Anwesen am Fluss Moika, wo er ein Steinhaus baute. Doch das Familienglück blieb ihm verwehrt: 1774 starb seine Frau Anna sowie ihre Kinder.

Von 1776 bis 1782 baute er einen Palast auf der Steinen Insel für Paul, den Sohn von Katharina II. Felten arbeitete auch in Peterhof und Zarskoje Selo und schuf die Innenräume des Großen Peterhof-Palastes.

Zu Beginn der 1780er Jahre vollendete Felten den Bau des Gebäudes der Akademie der Künste, danach zog er in eine Dienstwohnung und verkaufte sein Herrenhaus.

Nach dem Abgang Vallin-Delamots aus Russland begann Felten, Architektur an der Akademie der Künste zu unterrichten, und erhielt den Titel Professor nach dem Tod von A. F. Kokorinov. Seit 1775 war er Seniorprofessor und widmete sich vollständig den Angelegenheiten der Akademie.

Für seinen langen Dienst erhielt Felten den Rang eines Staatsrates. 1783 wurde er zum Korrespondenten der Französischen Königlichen Akademie gewählt.

1785 wurde Felten Adjunkt-Rektor der Akademie und 1789 deren Direktor. 1794 verließ er die Akademie ohne Auszeichnung, sein Antrag wurde abgelehnt. Der Architekt starb am 2. Juni 1801. Zu seinen bekannten Schülern zählen Andrejan Zacharov und die Brüder Alexander und Andrei Michailow.