Yuri Matveyevich Felten nació en 1730. Su padre, Matías Felten, llegó a Rusia desde Alemania y en 1725 fue nombrado economista en la recién creada Academia de Ciencias de San Petersburgo. Lo nombró Georg Friedrich, pero más tarde su nombre fue rusificado a Yuri Matveyevich. En 1736, su padre falleció y el cuidado de la familia fue asumido por el esposo de la hermana de Yuri. Junto a él, los Felten se mudaron a Alemania. Antes de partir a Tübingen, Yuri completó los últimos años de la escuela secundaria en la Academia de Ciencias, lo que le permitió ingresar a la Universidad de Tübingen.

Durante sus estudios en la universidad, Felten viajó por el país, estudiando arquitectura. Realizó prácticas en la construcción del Nuevo Palacio del Duque de Wurtemberg en Stuttgart entre 1747 y 1748, y en el verano de 1749, en Berlín.

En otoño de 1749, Felten regresó a San Petersburgo y en noviembre solicitó a la emperatriz Elizabeth Petrovna su ingreso a la Academia de Bellas Artes. En diciembre, su solicitud fue aceptada, convirtiéndose en el primer estudiante arquitecto junto a Reinhold Ashe. La arquitectura fue enseñada por I. Ya. Schumacher, quien no solo impartía conocimientos teóricos, sino que también involucraba a los estudiantes en actividades prácticas. En noviembre de 1751, Felten solicitó ingresar al servicio de la Academia.

El 20 de diciembre de 1755, por decreto del Senado, Felten fue admitido en el servicio de la Cancillería de Construcción y nombrado asistente de arquitecto, comenzando a trabajar en el equipo de Francesco Bartolomeo Rastrelli. Al principio no obtuvo un puesto fijo, pero más tarde fue juramentado y en 1760 fue admitido como arquitecto con el consentimiento de Rastrelli, a quien ayudó en la construcción del Palacio de Invierno.

Tras la renuncia de Rastrelli, Felten, junto con Vallin-Delamot, se convirtió en uno de los arquitectos más destacados de San Petersburgo. Finalizó los proyectos de Rastrelli, incluyendo trabajos en el Palacio de Invierno y la adaptación de los edificios del Monasterio de Smolny para el Instituto de Nobles Doncellas. Se le encargó la construcción de una escuela para doncellas de la clase media.

En 1762, Felten fue nombrado arquitecto jefe de la Oficina de Construcción de Casas y Jardines, sucediendo a Rastrelli. Este cargo le permitió dirigir importantes proyectos en San Petersburgo, incluyendo la construcción de la ribera de piedra del Palacio y su cerca, así como los edificios del Gran Hermitage y el arco sobre el canal de invierno.

En 1765, Felten participó en un concurso para restaurar el campanario de la Catedral de San Pedro y San Pablo, después de lo cual se centró en la construcción de edificios religiosos. Construyó la iglesia sueca de Santa Catalina, la iglesia armenia en la Avenida Nevski, la iglesia luterana de Santa Catalina en la Isla Vasilyevsky, la iglesia de Juan Bautista y otras.

El Palacio y la iglesia de Chesme, así como la iglesia de Juan Bautista, se convirtieron en ejemplos únicos de arquitectura gótica en los suburbios de San Petersburgo.

En 1773, Felten reconstruyó la casa del capitán Glazyev en la plaza frente al Palacio de Invierno, lo que le permitió ganar el concurso para la reconstrucción de todo el espacio palaciego. Según su proyecto, se construyeron edificios en el límite sur de la futura Plaza del Palacio.

La emperatriz Catalina II nombró a Felten responsable de la instalación del monumento a Pedro I (el Jinete de Bronce). Se convirtió en asistente del autor de la escultura, Étienne Maurice Falconet, y tras su partida, dirigió la instalación del monumento.

Felten vivió en una mansión a orillas del río Moyka, donde construyó una casa de piedra. Sin embargo, no logró encontrar la felicidad familiar: en 1774, su esposa Anna y sus hijos fallecieron.

De 1776 a 1782, construyó un palacio en la Isla de Piedra para Pablo, hijo de Catalina II. Felten también trabajó en Peterhof y Tsarskoye Selo, creando los interiores del Gran Palacio de Peterhof.

A principios de la década de 1780, Felten finalizó la construcción del edificio de la Academia de Bellas Artes, después de lo cual se mudó a un apartamento de servicio y vendió su mansión.

Tras la partida de Vallin-Delamot de Rusia, Felten comenzó a enseñar arquitectura en la Academia de Bellas Artes, obteniendo el título de profesor tras la muerte de A. F. Kokorinov. Desde 1775, fue profesor principal, dedicándose por completo a los asuntos de la Academia.

Por su larga trayectoria, Felten recibió el rango de consejero estatal. En 1783, fue elegido corresponsal de la Academia Real Francesa.

En 1785, Felten se convirtió en rector adjunto de la Academia, y en 1789, su director. En 1794, dejó la Academia sin distinción, y su solicitud fue rechazada. El arquitecto falleció el 2 de junio de 1801. Entre sus alumnos más conocidos se encuentran Andreyán Zakharov y los hermanos Alexander y Andrey Mikhailov.