Сергей Алексеевич Чаплыгин родился 5 апреля 1869 года в Раненбурге, расположенном в Рязанской губернии. Его отец работал продавцом в лавке, а мать занималась домашним хозяйством. Семья была дружной, но счастье длилось недолго: когда Сергею было два года, отец скончался в результате эпидемии холеры.

Родители матери настояли на её повторном замужестве, и Анна Петровна с сыном переехала в Воронеж, где жил её новый супруг. Сергей был серьёзным мальчиком, рано научился считать и писать, много помогал матери. Отчим хорошо относился к нему и пригласил знакомого студента семинарии, чтобы тот подготовил Сергея к поступлению в гимназию. Благодаря отличной памяти и способностям к учёбе, экзамены он сдал блестяще.

Однако отчим оказался плохим семьянином и оставил мать Сергея с пятью детьми. Все заботы легли на плечи старшего сына. После школы Сергей помогал матери и давал уроки. Учился он превосходно, поэтому его часто приглашали заниматься с отстающими детьми. В 13 лет Чаплыгин стал кормильцем семьи.

В 1886 году Сергей окончил гимназию с медалью и поступил на физико-математический факультет Московского университета. Он посещал все лекции и продолжал давать частные уроки, отправляя большую часть заработка матери в Воронеж. Жил он скромно, но не жаловался и упорно изучал физику, математику, механику и астрономию. Среди его преподавателей были А.Г. Столетов, Н.Е. Жуковский и Ф.А. Бредихин.

Лекции Жуковского пробудили в Чаплыгине интерес к механике, и по совету профессора он начал работу над научным трудом по гидродинамике, который стал основой его дипломной работы и был отмечен золотой медалью.

Оставшись в университете, Чаплыгин работал над диссертацией и преподавал. С 1894 года он стал приват-доцентом Московского университета. Осенью того же года женился на хозяйке квартиры Екатерине Арно. В 1897 году у них родилась дочь Ольга.

Сергей активно занимался исследовательской работой в области гидродинамики и изучал движение тел по шероховатой поверхности. Его труды стали классическими, а он написал два учебника по механике для университетов. Позже Чаплыгин защитил докторскую диссертацию и стал профессором.

После Октябрьской революции он продолжил научные исследования и преподавание. Когда был создан Центральный аэрогидродинамический институт, Жуковский пригласил Чаплыгина возглавить филиал ЦАГИ под Москвой. После смерти Жуковского в 1921 году Чаплыгин стал научным руководителем ЦАГИ.

Сергей Чаплыгин получил признание как учёный и в 1929 году был избран академиком АН СССР. Нагрузка сказалась на его здоровье, и в 1931 году он попросил освободить его от руководства ЦАГИ, но продолжал сотрудничать с институтом до конца жизни.