Фёдор Яковлевич Бурсак родился в 1750 году в дворянской семье Антоновичей на Харьковщине. В юности он учился в Киевской бурсе, но вскоре сбежал в Запорожскую Сечь, где получил новое прозвище, Бурсак.

Он участвовал в русско-турецкой войне 1768-1774 годов в качестве рядового казака, принимал участие в походах князя Потемкина в Крым. За проявленную отвагу и храбрость Бурсак был повышен до офицерского звания. Он одним из первых записался в формировавшиеся команды «Войска верных казаков» под руководством Захария Чепеги и отличился в сражениях при штурме Очакова, Гаджибея и Измаила. А. В. Суворов высоко оценил его заслуги и представил к награждению золотым знаком.

После переселения Черноморского войска на Кубань Бурсак был избран войсковым казначеем и вошел в состав войсковой старшины. 22 декабря 1799 года он стал войсковым атаманом и провел ряд мероприятий по благоустройству Екатеринодара и края, установил добрососедские отношения с горскими народами и открыл меновые дворы.

В 1803 году Бурсак основал первое учебное заведение на Кубани, которое через год стало войсковым училищем. В 1805 году вместе с протоиереем Кириллом Россинским он открыл первую на Кубани библиотеку. В те же годы казаки под его руководством достроили деревянный войсковой собор и кирпичные флигеля для размещения холостяков. Также было принято решение об основании суконной фабрики, конезавода и овчарни.

В 1807 году началась новая война с Турцией, и Бурсак участвовал в военных экспедициях за Кубань, защищая границы. В начале 1816 года, будучи в чине генерал-майора, он вышел в отставку. Похоронен в 1827 году возле войскового собора на Крепостной площади Екатеринодарской крепости.

У Фёдора Яковлевича было два сына, Афанасий Фёдорович и Павел Фёдорович, которые также стали военными. А. Ф. Бурсак в 1811 году основал казачью сотню для лейб-гвардии Казачьего полка и стал её первым командиром. В Отечественной войне 1812 года сотня активно участвовала в составе войск атамана Платова. В 1812 году Казачий полк и сотня Бурсака 2-го стали называться «Собственный Его Императорского Величества конвой». В 1813 году полк спас трёх императоров в битве под Лейпцигом от атаки французской кавалерии и позже участвовал во взятии Парижа. В 1913 году 1-му Черноморскому полку Кубанского казачьего войска было присвоено имя А. Ф. Бурсака.

Внуки, Пётр Павлович и Павел Павлович Бурсак, служили в Черноморском казачьем войске и достигли высоких чинов.