Алексей Николаевич Бекетов родился 19 февраля 1862 года в Харькове, хотя некоторые источники указывают Киев, в семье Николая Николаевича Бекетова, основоположника физико-химической науки и академика Императорской Академии Наук.

Он учился в Харьковском реальном училище и в частной художественной школе М. Д. Раевской-Ивановой. Высшее образование получил на архитектурном факультете Академии художеств в Санкт-Петербурге под руководством профессоров Д. И. Гримма и А. И. Кракау в 1882 и 1888 годах. Одновременно работал у известного петербургского архитектора М. Е. Месмахера, участвуя в проектах таких зданий, как дворец Великого князя Михаила Михайловича и здание архива Государственного совета. Академию он окончил с золотой медалью, защитив дипломный проект на тему вокзала при морских купальнях на Чёрном море.

С 1890 года Бекетов преподавал в Харьковском технологическом институте.

В 1894 году он получил звание академика архитектуры за проект здания Общественной библиотеки на полтора миллиона томов, которая с 1921 года носит имя Короленко и является крупнейшей библиотекой Восточной Украины.

Бекетов значительно повлиял на архитектурный облик Харькова, создав более 40 зданий, особенно в Нагорном районе и на улицах Пушкинской, Мироносицкого переулка и Садово-Куликовской.

По его проектам также построено около 60 зданий в Крыму, Симферополе, Алуште, Киеве, Ростове-на-Дону, Екатеринославе, Лубнах, Новочеркасске, Белгороде, Баку, Донецке и городах Донбасса, таких как Горловка и Макеевка.

Бекетов воспитал поколение молодых архитекторов из Украины, России и Советского Союза, которые учились в Харьковском политехническом институте, институте искусств, инженерно-строительном институте и институте инженеров коммунального хозяйства в Харькове. Среди его учеников были архитекторы А. Н. Душкин, Я. Г. Лихтенберг и В. Г. Кричевский.

Он был женат на Анне, дочери украинского горнопромышленника Алексея Алчевского, которая была художницей.

Алексей Бекетов скончался 23 ноября 1941 года в оккупированном Харькове.

Его похоронили на городском кладбище, на месте которого сейчас находится Молодёжный парк. Во второй половине 1970-х годов, перед ликвидацией кладбища, его прах был перенесён на тринадцатое городское кладбище Харькова на Пушкинской улице.

Архивы Бекетова хранятся в Центральном государственном научно-техническом архиве Украины в Харькове.