Он родился в 1899 году в Харькове и учился в студии княгини Тенишевой в Петербурге. Позже поступил в Киевский университет, планируя изучать юриспруденцию, но события 1917 года нарушили его планы. В 1918 году Борис служил в армии Скоропадского и намеревался присоединиться к Белой армии, однако попал в плен, из которого сбежал. В 1919 году, не имея средств, он эмигрировал в США. Приехав в Нью-Йорк, начал работать в гравёрной мастерской. Он начинал карьеру в Америке, не зная английского: занимался нарезкой этикеток в типографии, работал дизайнером бутылок и расписывал стены ресторана The Russian Inn. Его росписи заметил художник и арт-критик Ги де Буа. В 1926 году он получил гражданство США, а в 1930 году женился на Элизабет Снайдер. Работал в журналах Time, Fortune и Life, а в 1954 году выпустил книгу «Как я вижу», за которую получил престижные награды как иллюстратор.

За свою карьеру Арцыбашев создал иллюстрации к более чем 50 книгам, а также множество рекламных материалов и обложек для журналов.

Он скончался 16 июля 1965 года в городе Лайм, Коннектикут.