Филипп Матвеевич родился в 1857 году. Получив среднее образование, он служил в Русской Императорской армии и после отставки в звании прапорщика занялся подрядными работами. Он построил атаманский дворец, который был освящен 6 декабря 1894 года, и его имя стало известно в Екатеринодаре благодаря успешному завершению этого большого трехэтажного здания в срок.

Продолжая заниматься подрядными работами, Акулов построил железный мост через реку Белую, ведущий в станицу Тульскую. 14 апреля 1912 года он вместе с другими состоятельными жителями Екатеринодара открыл частный ломбард. Он был избран гласным в Екатеринодарскую городскую думу и возглавил финансовую комиссию. Также Акулов являлся почетным мировым судьей и почетным членом Войскового приюта для девиц.

Его заслуги были высоко оценены как городским самоуправлением, так и войсковым начальством: Филипп Матвеевич получил чин коллежского асессора и звание личного дворянина.

Впервые Филипп Матвеевич баллотировался на пост городского головы в 1907 году. В 1916 году его кандидатура была выдвинута повторно, но только через три года он был избран главой города. На выборах 12 ноября 1919 года, получив 52 голоса, Акулов стал градоначальником Екатеринодара.

Зимой 1919-1920 годов ситуация на фронтах Гражданской войны изменилась в пользу Красной Армии. Политическая обстановка в Екатеринодаре была сложной, и в условиях паники Акулов не смог предпринять полезных действий для города. Перед приходом красных его жена и четверо детей были эвакуированы из Новороссийска на Принцевы острова. Сам Филипп Матвеевич с отступающей Белой армией оказался в Крыму, а затем перебрался в Константинополь, где занимался снабжением Русской армии генерала Врангеля. В эмиграции он жил в Югославии и скончался в пригороде Белграда, городе Панчево, 8 января 1934 года.