Le musée a été créé par la fondation publique du musée de Marina Tsvetaïeva en juin 1991, lors des célébrations de la poésie Tsvetaïev, désormais connues sous le nom de festivals de poésie Tsvetaïev, qui se déroulent dans la ville d'Alexandrov depuis 1982. C'était le premier musée dédié à Tsvetaïeva, ouvert en Russie. La même année, la fondation a transféré la gestion du musée à l'administration de la ville d'Alexandrov, et il est devenu municipal. Le principe fondamental du musée est la visite individuelle pour chaque visiteur.

En 2008, le musée a remporté le concours « Le musée en mutation dans un monde en mutation » avec le projet « Envoie-moi un jardin pour ma vieillesse ».

Le musée est conçu comme une métaphore, recréant l'atmosphère de l'époque où vivaient les Tsvetaïev. L'exposition couvre les années 1915 et 1917, lorsque Anastasia et Marina Tsvetaïeva résidaient à Alexandrov. Le musée présente également l'exposition « Alexandrov, capitale du 101e kilomètre », occupant deux salles. La filiale du musée dans le village de Lizunovo, « Maison-musée d'Alexeï Mousatov », est dédiée à la vie et à l'œuvre de l'écrivain pour enfants célèbre Alexeï Mousatov. Le quartier muséal comprend deux maisons en bois, « La petite maison Tsvetaïev » et « La maison des Lebedev », une maison en pierre à deux étages des XVIe et XXe siècles, ainsi qu'un jardin mémorial de Marina et Anastasia Tsvetaïeva. Le musée comprend également une « Salle de musique de chambre », qui sert à la fois de salle d'exposition, et un domaine dans le village de Lizunovo. L'exposition « Alexandrov, capitale du 101e kilomètre » est située dans une maison en pierre historique du XVIe siècle dans l'allée militaire, qui, selon les suppositions, était utilisée comme écuries du tsar de la sloboda d'Alexandrov.

Les fonds du musée comptent plus de trente-cinq mille unités de conservation et incluent des collections de matériaux d'éminents acteurs culturels liés à la région d'Alexandrov. Parmi eux, Marina et Anastasia Tsvetaïeva, Ossip Mandelstam, Ariadna Efron, Adélaïde et Evgueni Gertsyk, Sergueï Elpatyevsky, Alexandre Soljenitsyne, Anatoli Marchenko, le docteur Sergueï Maslenikov, l'écrivain hongrois József Lendvai, l'artiste Léon Lagorio, l'artiste russo-hongrois Viktor Toot, la citoyenne suisse Élisa Rutgers, le prêtre Alexandre Sergeenko et bien d'autres.

Le musée organise trois festivals célèbres : le plus ancien festival de poésie en Russie, le festival de poésie Tsvetaïev, qui se déroule depuis 1982 la dernière semaine complète de juin, le Festival international de musique de chambre Sergeï Korshounkov depuis 1994 la première semaine complète d'avril et le festival « Saisons d'Alexandrov du Grand Théâtre ». Dans le village de Lizunovo, le festival annuel de littérature pour enfants « Stojary » est également organisé.