El museo fue creado por el fondo público del museo de Marina Tsvetaeva en junio de 1991, durante la celebración de las fiestas de poesía Tsvetaeva, que ahora son conocidas como los festivales de poesía Tsvetaeva y se llevan a cabo en la ciudad de Alexandrov desde 1982. Fue el primer museo dedicado a Tsvetaeva que se abrió en Rusia. Ese mismo año, el fondo transfirió el museo a la administración de la ciudad de Alexandrov, convirtiéndose en municipal. El principio básico del museo es la visita individual para cada visitante.

En 2008, el museo ganó el concurso "El museo cambiante en un mundo cambiante" con el proyecto "Envíame un jardín para mis años de vejez".

El museo está concebido como una metáfora que recrea la atmósfera de la época en que vivieron los Tsvetaeva. La exposición abarca los años 1915 y 1917, cuando Anastasia y Marina Tsvetaeva residían en Alexandrov. El museo también presenta la exposición "Alexandrov, capital del kilómetro 101", que ocupa dos salas. La sucursal del museo en la aldea de Lizunovo, "Casa-Museo de Alexei Musatov", está dedicada a la vida y obra del conocido escritor infantil Alexei Musatov. El complejo del museo incluye dos casas de madera, "La casita Tsvetaeva" y "La casa de los Lebedev", una casa de piedra de dos pisos de los siglos XVI y XX, así como el Jardín Memorial de Marina y Anastasia Tsvetaeva. El museo también incluye la "Sala de Música de Cámara", que sirve tanto como sala de exposiciones, como la mansión en la aldea de Lizunovo. La exposición "Alexandrov, capital del kilómetro 101" se encuentra en una histórica casa de piedra del siglo XVI en el Callejón Militar, que, supuestamente, se utilizó como caballería del estado de la sloboda de Alexandrov.

Los fondos del museo cuentan con más de treinta y cinco mil unidades de almacenamiento e incluyen colecciones de materiales de destacados representantes de la cultura, cuya actividad está relacionada con la región de Alexandrov. Entre ellos se encuentran Marina y Anastasia Tsvetaeva, Osip Mandelstam, Ariadna Efron, Adelaida y Evgenia Gertsyk, Sergey Elpatyevsky, Alexander Solzhenitsyn, Anatoly Marchenko, el doctor Sergey Maslenikov, el escritor húngaro József Lendvai, el artista Lev Lagorio, el artista ruso-húngaro Viktor Toot, la ciudadana suiza Elsa Rutgers, el sacerdote Alexander Sergeenko y muchos otros.

El museo organiza tres festivales conocidos: el festival de poesía más antiguo de Rusia, el Festival de Poesía Tsvetaeva, que se celebra desde 1982 en la última semana completa de junio, el Festival Internacional de Música de Cámara en memoria de Sergey Korshunov desde 1994 en la primera semana completa de abril y el festival "Las estaciones de Alexandrov del Gran Teatro". En la aldea de Lizunovo también se celebra anualmente la fiesta Musatov de literatura infantil "Stozhary".