Alexander Alyabiev se interesó por la música desde joven, aprendió a tocar el piano y estudió los fundamentos de la composición. Creó romances sobre poemas de poetas conocidos, miniaturas vocales, así como obras para orquesta y óperas para teatros de la capital. Incluso estando en exilio siberiano, Alyabiev no dejó de dedicarse a la música.

Alyabiev nació el 15 de agosto de 1787 en Tobolsk en una familia de un gobernador civil. En la casa de los Alyabiev a menudo sonaba música, en la que participaban tanto los padres como los invitados, incluidos los exiliados a quienes protegía el padre del compositor. En 1796, la familia se mudó a San Petersburgo, donde el padre ocupó un puesto en la Berg-Kollegium, y Alexander comenzó a tomar lecciones de música con Johann Heinrich Müller. Más tarde se mudó a Moscú, ingresó en un internado en la Universidad de Moscú y comenzó a estudiar composición.

A los 14 años, Alyabiev estaba en un servicio nominal, y luego comenzó a servir activamente en la oficina de Berg de Moscú, combinando el trabajo con actividades musicales. En 1810 se publicaron sus primeras composiciones: un romance y valses.

Con el inicio de la Guerra Patriótica, Alyabiev fue asignado a un regimiento cosaco y enviado a Ucrania. Allí conoció a Denis Davydov y se unió a su grupo de partisanos, y luego fue transferido al regimiento de húsares de Irkutsk en Kobrin, Bielorrusia. Allí se hizo amigo de Alexander Griboedov y Nikolai Tolstoy, padre de Lev Tolstoy.

Durante su servicio militar, Alyabiev recibió varias condecoraciones, incluidos dos órdenes de Santa Ana de tercera clase y la orden de San Vladimir de cuarta clase. En su tiempo libre, compuso cuartetos de cuerdas, tríos y quintetos para piano, así como numerosos romances, entre los cuales se encuentra la elegía sobre los versos de Pushkin "Se apagó la luz del día".

El 12 de febrero de 1822, en el Teatro Bolshoi de San Petersburgo, se estrenó el vodevil de Nikolai Khmelnitsky con música de Alyabiev, Ludwig Wilhelm Maurer y Alexei Verstovsky "Nueva travesura, o Batalla teatral". Este fue el debut de Alyabiev como compositor teatral.

En enero de 1823, en el teatro de Mokhovaya, se presentó la ópera-vodevil "El filósofo de la aldea", y en junio se estrenó en San Petersburgo y Moscú la ópera de Alyabiev "Noche de luna, o Los duendes", que tuvo un gran éxito. Vladimir Odoyevsky escribió que las óperas de Alyabiev no son inferiores a las óperas cómicas francesas.

Con el tiempo, el servicio militar comenzó a pesarle al compositor, y solicitó su baja. A finales de 1823 fue despedido, y Alyabiev se estableció en Moscú, donde participó en veladas musicales en la casa de Maria Ivanovna Rimskaya-Korsakova. Más tarde, su hija menor, Ekaterina, se convirtió en su esposa.

En 1825, la música de Alyabiev sonó en el Teatro Bolshoi de Moscú. Para la inauguración del nuevo edificio del teatro, Mikhail Dmitriev escribió un prólogo poético "El triunfo de las musas", cuya música fue creada por Friedrich Sholtz, Alexei Verstovsky y Alexander Alyabiev.

Sin embargo, la vida del compositor no se limitaba a veladas musicales y estrenos. En febrero de 1825, fue arrestado tras una partida de cartas, durante la cual se produjo una pelea, y uno de los participantes murió tres días después. Un testigo declaró que Alyabiev lo golpeó, y a pesar de la falta de otras pruebas, el compositor terminó en prisión, donde continuó escribiendo música.

Mientras se llevaba a cabo la investigación, Alyabiev compuso varias óperas-vodevils, el romance "El ruiseñor" y una miniatura vocal sobre los versos de Anton Delvig. El 1 de diciembre de 1827, el Consejo de Estado emitió un veredicto: a Alyabiev se le retiró el título nobiliario, las condecoraciones y fue exiliado a Siberia.

En febrero llegó a Tobolsk bajo la supervisión del gobernador de Siberia Occidental, Ivan Velyaminov, quien le permitió dedicarse a la música. Ese mismo año, se trasladó a Tobolsk la orquesta de "música cosaca", que Alyabiev tomó bajo su tutela, convirtiéndola en una orquesta sinfónica completa.

Gracias a los esfuerzos de Velyaminov y sus familiares, en 1832 se le permitió a Alyabiev viajar al Cáucaso para tratarse los ojos. Allí se interesó por el folclore caucásico y compuso romances inspirados en melodías locales, que se incluyeron en la colección "El cantor del Cáucaso". También comenzó a trabajar en la música para la novela de Bestuzhev-Marlinsky "Ammalat-Bek", que más tarde se convirtió en la base de la ópera del mismo nombre.

En 1833, se le permitió a Alyabiev residir en Orenburg, donde estuvo bajo la protección del gobernador general Vasily Perovsky. Perovsky luchó para que el compositor pudiera vivir en la provincia de Moscú, en la finca de sus familiares.

Alyabiev continuó componiendo activamente. En 1838, escribió la música para la "Rusalka" de Pushkin, inspirada en la muerte del poeta. La obra se presentó en el Teatro Bolshoi de Moscú, pero en el cartel solo se indicaron las iniciales del compositor.

En 1843, después de numerosas solicitudes, se le permitió a Alyabiev vivir en Moscú, aunque no le devolvieron el título nobiliario. En Moscú, se convirtió en un participante habitual de los "jueves" en la casa de Alexander Veltman, donde se reunían escritores y músicos famosos. Alyabiev dedicó mucho tiempo a la creación coral y preparó para su publicación "Colección de diversas canciones rusas" para coro, que incluía miniaturas sobre versos de poetas conocidos. Sin embargo, la colección se publicó solo en 1952.

Alexander Alyabiev falleció en 1851 y fue enterrado en la cripta familiar en el monasterio de Simonov. Durante la época soviética, el monasterio fue destruido, y las tumbas del compositor y sus familiares fueron arrasadas.