Alexander Tschischewski wurde am 7. Februar 1897 in Zechanowce, Polen, in einer Familie von Artillerieoffizieren geboren. Sein Vater, Leonid Wasiljewitsch, setzte die militärische Familientradition fort, während seine Mutter, Nadeschda Alexandrowna, an Tuberkulose starb, als Alexander noch nicht einmal ein Jahr alt war. Die Erziehung des Jungen übernahmen die Tante Olga Wasiljewna Tschischewski-Lesli und die Großmutter Jelisaweta Semjonowna.

Alexander erhielt eine Hausausbildung, die Natur- und Ingenieurwissenschaften umfasste, aber er interessierte sich mehr für Geisteswissenschaften. Schon in der Kindheit begeisterte er sich für Musik, Poesie und Malerei, mit vier Jahren konnte er Gedichte in mehreren Sprachen auswendig und begann, eigene zu schreiben.

Seine wissenschaftliche Karriere begann mit einem Interesse an Astronomie im Alter von neun Jahren. 1913 zog die Familie nach Kaluga, wo Tschischewski Konstantin Ziolkowski traf, der sein wissenschaftlicher Mentor wurde. Alexander vermutete, dass die Sonnenaktivität die Prozesse auf der Erde beeinflusst, und präsentierte 1915 seine Ideen in einem Bericht, der eine lebhafte Diskussion auslöste. 1918 promovierte er an der Moskauer Universität.

Sechs Jahre später, auf Empfehlung von Anatoli Lunatscharski, veröffentlichte Tschischewski ein Buch, das auf seiner Dissertation basierte und Kritik hervorrief. 1918 begann er, die Mechanismen der Sonnen-Erde-Beziehungen zu untersuchen, wobei er sich auf die Ionisierung der Luft konzentrierte. Da er nicht in staatlichen Institutionen arbeiten konnte, richtete er ein Heimlabor ein. 1919 präsentierte er die Ergebnisse seiner Forschungen, was zu einer Bekanntschaft mit dem Physiker Peter Lazarew führte, der seine Arbeit unterstützte.

Tschischewski entdeckte elfjährige Zyklen historischer Prozesse und verband sie mit der Sonnenaktivität. 1935 stellte er fest, dass Bakterien auf Sonnenstörungen reagieren, was die Vorhersage von Sonnenstürmen ermöglicht. Trotz internationaler Anerkennung wurde er 1942 verhaftet und verbrachte fünfzehn Jahre in Lagern und Verbannungen.

Nach seiner Freilassung im Jahr 1950 ließ sich Tschischewski in Karaganda nieder, wo er als Berater und Leiter von Laboren arbeitete. 1958 kehrte er nach Moskau zurück, wo er seine Arbeit im Bereich der Aeroiontherapie fortsetzte. In seinen letzten Lebensjahren schrieb er Erinnerungen an die Freundschaft mit Ziolkowski und hielt Kontakt zu dessen Tochter.

Alexander Leonidowitsch Tschischewski starb am 20. Dezember 1964 in Moskau und wurde auf dem Pjatnitskoje-Friedhof beigesetzt.