Александр Николаевич Бакулев родился 25 ноября 1890 года в деревне Невениковская, которая сейчас находится в Слободском районе Кировской области. Он происходил из старинной вятской семьи Бакулевых.

В 1911 году Бакулев окончил Первую Вятскую гимназию, а затем медицинский факультет Саратовского университета.

Во время Первой мировой войны он служил младшим врачом в 80-м Кабардинском полку на Западном фронте в течение двух с половиной лет. За участие в разведывательной операции его наградили орденом Святого Станислава 3-й степени.

С 1919 года Бакулев работал ординатором в университетской хирургической клинике под руководством С. И. Спасокукоцкого. В 1926 году он начал работать на кафедре хирургии 2-го Московского медицинского института и в 1943 году возглавил её.

Его профессиональная деятельность охватывала такие области медицины, как хирургия почек, костная хирургия, хирургическое лечение язвенной болезни, а также хирургия сердца и опухолей средостения и лёгких. В 1948 году он провёл операцию по исправлению врождённого порока сердца. Бакулев также был одним из первых нейрохирургов в СССР. Он основал и стал первым директором Института грудной хирургии, который позже был переименован в Институт сердечно-сосудистой хирургии им. А. Н. Бакулева. Бакулев был одним из организаторов Пироговских чтений.

С 14 декабря 1953 года по 29 января 1960 года он занимал пост президента Академии медицинских наук СССР. Был депутатом Совета Союза Верховного Совета СССР от Москвы в 4 и 5 созывах в 1954 и 1962 годах.

Бакулев поддерживал дружеские отношения с секретарём И. В. Сталина А. Н. Поскрёбышевым.

Он скончался 31 марта 1967 года и был похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве.