Alexandre Viazemski est né le 3 (14) août 1727 et appartenait à une lignée princière, descendant du petit-fils de Vladimir Monomaque, le prince Rostislav Mstislavitch. À l'âge de vingt ans, il a terminé le Corps des nobles de terre. Pendant la guerre de Sept Ans contre la Prusse, il a non seulement participé aux batailles, mais a également exécuté des missions secrètes pour le commandement, qui ont failli lui coûter la vie. À la fin de la guerre, Viazemski occupait le poste de général-quartier-maître et était connu de l'impératrice Catherine II. En décembre 1762, elle lui confia la tâche de réguler les relations entre les paysans et leurs maîtres dans les usines de l'Oural. Il s'est occupé de cette tâche pendant presque un an, jusqu'à ce qu'il soit remplacé en décembre 1763 par le général-major A. I. Bibikov.

Le 3 (14) février 1764, Catherine II, convaincue de l'honnêteté de Viazemski, le nomma général-procureur du Sénat et lui écrivit personnellement une « instruction secrète », définissant ses devoirs. L'impératrice rappelait que le général-procureur devait être franc avec le souverain, car sa tâche était de s'opposer aux puissants de ce monde, et cela ne pouvait se faire qu'avec le soutien impérial. Elle soulignait qu'elle ne demandait pas de « flatterie », mais seulement de l'honnêteté et de la fermeté dans les affaires. Catherine II le mettait en garde contre les intrigues de cour et lui conseillait de se guider uniquement par l'intérêt de la patrie et la justice.

Viazemski suivait strictement cette instruction et jouissait de la confiance de l'impératrice, ce qui lui permit de conserver son poste pendant presque 29 ans et d'élargir ses prérogatives. Au début de sa carrière, il dirigeait le Sénat et contrôlait la vente de sel et de vin, et à partir des années 1780, il gérait la justice, les finances et les affaires intérieures. Il a introduit une comptabilité stricte dans les affaires financières et un suivi des revenus et des dépenses.

Le général-procureur dirigeait l'Expédition secrète, à travers laquelle passaient toutes les affaires politiques significatives de l'époque de Catherine II, y compris les affaires de E. Pugatchev, A. N. Radichtchev et N. I. Novikov. Sous sa direction, S. I. Cheshkovski, connu comme le « bourreau domestique de la douce Catherine », menait une activité intense.

Viazemski dirigeait activement les procureurs et introduisit les « Établissements pour la gestion des gouvernements » en 1775, réglementant les droits et devoirs de la procureur local. Pour ses mérites, il reçut de nombreuses distinctions, y compris les ordres de Saint-André le Premier-Appelé, Saint-Alexandre Nevski, Saint-Anne et d'autres. Il avait le grade de général-lieutenant et de conseiller secret effectif.

En septembre 1792, Viazemski prit sa retraite pour des raisons de santé, et ses responsabilités furent réparties entre plusieurs personnes. D. N. Bantych-Kamenski écrivait de lui comme d'un homme fidèle au trône, désintéressé et travailleur, qui savait choisir des assistants dignes, mais était avare et envieux.

Le prince Viazemski mourut d'une paralysie le 9 (20) janvier 1793, et sa tombe se trouve dans l'église de la Transfiguration de la Laure Alexandre-Nevski. Sa propriété de Mourzinka fut héritée par sa fille Anna, puis par son petit-fils Anton Apraxine.