Alexander Wjazemski wurde am 3. (14.) August 1727 geboren und stammte aus einer Fürstenfamilie, die ihren Ursprung von dem Enkel Wladimir Monomachs, Fürst Rostislaw Mstislawitsch, ableitet. Im Alter von zwanzig Jahren schloss er die Landoffiziersschule ab. Während des Siebenjährigen Krieges gegen Preußen nahm er nicht nur an Schlachten teil, sondern führte auch geheime Aufträge des Kommandos aus, die ihn beinahe das Leben kosteten. Am Ende des Krieges war Wjazemski Generalquartiermeister und war der Kaiserin Katharina II. bekannt. Im Dezember 1762 beauftragte sie ihn, die Beziehungen zwischen den Bauern und ihren Herren in den Uralwerken zu regeln. Fast ein Jahr lang beschäftigte er sich mit dieser Aufgabe, bis er im Dezember 1763 durch Generalmajor A. I. Bibikov ersetzt wurde.

Am 3. (14.) Februar 1764, überzeugt von der Ehrlichkeit Wjazemski, ernannte Katharina II. ihn zum Generalprokurator des Senats und schrieb ihm persönlich eine "geheime Anweisung", in der sie seine Pflichten festlegte. Die Kaiserin erinnerte daran, dass der Generalprokurator offen mit dem Herrscher sein müsse, da seine Aufgabe darin bestehe, den Mächtigen dieser Welt entgegenzutreten, und dabei könne ihm nur die kaiserliche Macht helfen. Sie betonte, dass sie keine "Zuneigung" fordere, sondern nur Ehrlichkeit und Festigkeit in den Angelegenheiten. Katharina II. warnte ihn vor Hofintrigen und riet ihm, sich nur nach dem Nutzen des Vaterlandes und der Gerechtigkeit zu richten.

Wjazemski hielt sich strikt an die Anweisung und genoss das Vertrauen der Kaiserin, was ihm ermöglichte, fast 29 Jahre lang im Amt zu bleiben und seine Befugnisse zu erweitern. Zu Beginn seiner Karriere leitete er den Senat und kontrollierte den Verkauf von Salz und Wein, und ab den 1780er Jahren verwaltete er die Justiz, Finanzen und innere Angelegenheiten. Er führte eine strenge Buchführung in finanziellen Angelegenheiten sowie eine Aufzeichnung von Einnahmen und Ausgaben ein.

Der Generalprokurator leitete die Geheime Expedition, durch die alle bedeutenden politischen Angelegenheiten der Ära Katharinas II. liefen, einschließlich der Fälle von J. Pugatschow, A. N. Radischew und N. I. Nowikow. Unter ihm war S. I. Scheschkowski aktiv, bekannt als "Haushenker der sanften Katharina".

Wjazemski leitete aktiv die Prokuratoren und führte 1775 die "Einrichtungen zur Verwaltung der Gouvernements" ein, die die Rechte und Pflichten der lokalen Staatsanwaltschaft regelten. Für seine Verdienste erhielt er zahlreiche Auszeichnungen, darunter die Orden St. Andreas des Erstberufenen, St. Alexander Newski, St. Anna und andere. Er hatte den Rang eines Generalleutnants und war wirklicher geheimer Rat.

Im September 1792 trat Wjazemski aus gesundheitlichen Gründen in den Ruhestand, und seine Pflichten wurden auf mehrere Personen verteilt. D. N. Bantysch-Kamenski schrieb über ihn als einen treuen Mann des Thrones, selbstlosen und fleißigen, der in der Lage war, würdige Helfer auszuwählen, aber geizig und neidisch war.

Fürst Wjazemski starb am 9. (20.) Januar 1793 an Lähmung, und sein Grab befindet sich in der Blagoweschtschenskaja Kirche des Alexander-Newski-Klosters. Sein Gut Murzinka erbte seine Tochter Anna, und später sein Enkel Anton Apraxin.