Александр Вяземский nació el 3 (14) de agosto de 1727 y provenía de una familia principesca, que se remontaba al nieto de Vladimir Monómaco, el príncipe Rostislav Mstislavich. A la edad de veinte años, se graduó del Cuerpo de Nobles de Tierra. Durante la Guerra de los Siete Años con Prusia, no solo participó en batallas, sino que también realizó misiones secretas para el mando, que casi le costaron la vida. Al final de la guerra, Vяземский ocupaba el cargo de general de cuartel y era conocido por la emperatriz Catalina II. En diciembre de 1762, ella le encargó regular las relaciones entre los campesinos y sus dueños en las fábricas de los Urales. Durante casi un año se ocupó de esta tarea, hasta que en diciembre de 1763 fue reemplazado por el general mayor A. I. Bibikov.

El 3 (14) de febrero de 1764, Catalina II, al convencerse de la honestidad de Vяземский, lo nombró fiscal general del Senado y le escribió personalmente una "instrucción secreta", definiendo sus deberes. La emperatriz recordaba que el fiscal general debía ser sincero con el soberano, ya que su tarea era oponerse a los poderosos de este mundo, y en esto solo le ayudaría el poder imperial. Subrayó que no exigía "lisonjas", sino solo honestidad y firmeza en los asuntos. Catalina II lo advirtió sobre las intrigas palaciegas y le aconsejó guiarse únicamente por el bienestar de la patria y la justicia.

Vяземский siguió estrictamente la instrucción y gozó de la confianza de la emperatriz, lo que le permitió mantener el cargo durante casi 29 años y ampliar sus poderes. Al principio de su carrera, presidía el Senado y controlaba la venta de sal y vino, y desde la década de 1780 gestionaba la justicia, las finanzas y los asuntos internos. Introdujo una estricta contabilidad en los asuntos financieros y un registro de ingresos y gastos.

El fiscal general dirigió la Expedición Secreta, a través de la cual pasaron todos los asuntos políticos significativos de la época de Catalina II, incluidos los casos de E. Pugachov, A. N. Radishchev y N. I. Novikov. Durante su mandato, S. I. Sheshkovsky, conocido como "el verdugo doméstico de la mansa Catalina", llevó a cabo una actividad activa.

Vяземский dirigió activamente a los fiscales e introdujo las "Instituciones para la administración de las provincias" en 1775, que regulaban los derechos y deberes de la fiscalía local. Por sus méritos, recibió numerosas condecoraciones, incluidos los órdenes de San Andrés el Primer Llamado, San Alejandro Nevski, Santa Ana y otros. Tenía el rango de general de teniente y consejero secreto efectivo.

En septiembre de 1792, Vяземский se retiró por enfermedad, y sus responsabilidades fueron distribuidas entre varias personas. D. N. Bantysh-Kamensky escribió sobre él como un hombre leal al trono, desinteresado y trabajador, que sabía elegir ayudantes dignos, pero era tacaño y envidioso.

El príncipe Vяземский murió de parálisis el 9 (20) de enero de 1793, y su tumba se encuentra en la iglesia de la Anunciación del Monasterio de Alejandro Nevski. Su mansión Murzinka fue heredada por su hija Anna, y luego por su nieto Anton Apraxín.