Павел Андреевич Башенин родился в семье Андрея Анисимовича Башенина, купца третьей гильдии и лесопромышленника. Он учился в Алексеевском реальном училище и вместе с младшим братом Петром изучал лесопромышленное дело у известных «Чердынских воротил». Позже Павел стал компаньоном отца и сопровождал его в деловых поездках по разным городам. По отзывам современников, он значительно превзошел отца в торговом мастерстве.

После смерти отца предпринимательскую деятельность продолжила мать, став самостоятельной купчихой первой гильдии. После её ухода Павел Андреевич стал самостоятельным купцом первой гильдии, а его брат Пётр Андреевич вошел во вторую купеческую гильдию.

В 1899 году Павел Андреевич женился на Людмиле Николаевне, которая, как и многие жены купцов, была членом Сарапульского благотворительного общества. Его дела шли успешно, и в сборнике «Вся Россия» упоминался его лесопильный завод в Бердышевске Оханского уезда Пермской губернии.

С 1904 по 1909 годы Павел Андреевич Башенин был главой города Сарапула, избранным почти единогласно. На этом посту он активно занимался благоустройством и развитием города.

Павел Андреевич жертвовал средства на учебные заведения, такие как Алексеевское реальное училище, а также на благотворительные спектакли и рождественские ёлки.

В 1909 году Сарапульская городская Дума приняла решение о всеобщем обучении, и для этого требовались подходящие помещения. Башенин вкладывал свои средства в строительство новых каменных зданий, приспособленных для учебного процесса.

Он также был членом комитета публичной библиотеки, председателем попечительского совета женской гимназии, попечителем бесплатной больницы имени Устина Саввовича Курбатова и исполнял обязанности мирового судьи. Павел Андреевич был старейшим членом Сарапульского общества рысистого бега.

У него было множество идей по развитию города. В новогоднем пожелании, опубликованном в газете «Прикамская жизнь» в 1910 году, говорилось о его стремлении с честью завершить два предприятия и начать новое: построить театр, народный университет и другие объекты.

4 марта 1910 года Павел Андреевич Башенин внезапно скончался от кровоизлияния. В день похорон улица перед его домом была заполнена людьми. Торжественное отпевание прошло в Вознесенском кафедральном соборе, где панихиду отслужили епископ Сарапульский Амвросий Гудко и 19 священников с дьяконами. Похороны Павла Андреевича стали всенародным шествием. Местная газета писала, что ни один житель Сарапула не вызывал столько сожаления и горя, как Павел Андреевич Башенин, который занимал первое место среди сограждан и превосходил их в даровании, усердии и служении общему благу.

Тело Павла Андреевича было упокоено в фамильном склепе у Воскресенской церкви.